Verteilungsfamilien

Verteilungsfamilien bezeichnet in der Wahrscheinlichkeits- und Statistiktheorie Mengen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die durch dieselbe Funktionsform beschrieben werden, wobei Parameterwerte Lage, Streuung oder Form festlegen. Jede Familie besteht aus Verteilungen, die durch Parameter θ in einem Definitionsraum Θ beschrieben werden. Die Dichte f(x|θ) oder die Verteilungsfunktion F(x|θ) hängt von θ ab; durch deren Werte wird die Form der Verteilung bestimmt.

Zu den bekanntesten Verteilungsfamilien gehören diskrete und stetige Beispiele. Die Normalverteilung N(μ, σ²) mit μ ∈ R und σ² > 0; die Poissonverteilung mit λ > 0; die Binomialverteilung mit n und p; die Exponentialverteilung mit λ > 0; sowie Gamma- und Beta-Verteilungen. Jede dieser Familien wird durch unterschiedliche Parameter gesteuert, zum Beispiel Lageparameter wie μ, Skalenparameter wie σ oder Formparameter wie k, α und β. Verteilungsfamilien können sowohl diskret als auch stetig sein.

Eine besondere Unterklasse ist die Exponentialfamilie, deren Dichte sich oft in der Form f(x|θ) = h(x) exp(η(θ)T(x) − A(θ)) schreiben lässt. Diese Struktur erleichtert statistische Eigenschaften wie Suffizienz und Konjugatbeziehungen und ist in vielen Modellen zentral.

Verteilungsfamilien bilden die Grundlage der Modellierung in Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sie ermöglichen die systematische Beschreibung von Daten, Parameterabschätzung (z. B. Maximum-Likelihood) und den Vergleich verschiedener Modelle, ohne jede Verteilung separat neu zu definieren.