Transformationsfunktion

Transformationsfunktion bezeichnet in der Mathematik allgemein eine Abbildung, die jedem Element einer Eingabemenge X genau ein Element der Ausgabemenge Y zuordnet. Sie modelliert eine Transformation von Objekten, Koordinaten, Signalen oder Datensätzen. Formal ist sie eine Funktion f: X -> Y, wobei y = f(x).

Je nach Kontext wird eine Transformationsfunktion injektiv, surjektiv oder bijektiv sein. Bijektive Transformationen besitzen eine Umkehrfunktion. In vielen Bereichen spielt auch die Strukturerhaltung eine Rolle: Linearität, Stetigkeit, Invarianz unter bestimmten Operationen.

Typen und Beispiele: Lineare Transformationen T: V -> W auf Vektorräumen erfüllen T(au + bv) = aT(u) + bT(v). Mathematisch werden sie oft durch Matrizen dargestellt. Affine Transformationen kombinieren eine lineare Transformation mit einer Translation: x' = Ax + b. Geometrische Transformationen umfassen Rotation, Spiegelung, Translation, Skalierung. Koordinatentransformationen wechseln Basis- oder Koordinatensysteme. Nichtlineare Transformationsfunktionen wie y = x^2 oder y = log x verändern Struktur und Abhängigkeiten.

Beispiele aus der Praxis: Im Datenbereich dienen Transformationsfunktionen der Skalierung, Stabilisierung der Varianz (z. B. Box-Cox), oder der Transformation von Zeitreihen in Frequenzbereiche (Fourier-Transformation). In der Bild- und Computergrafik kommen geometrische oder Farbraum-Transformationen zum Einsatz. In der Informatik treten Transformationsfunktionen als map- oder transform-Funktionen in Programmen auf.

Zusammenfassung: Transformationsfunktionen sind zentrale Werkzeuge zur Modellierung von Veränderungen, da sie Strukturen bewahren oder gezielt verändern und sich durch Rechenregeln wie Komposition oder Invertierbarkeit weiterverarbeiten lassen.