Topologien

Topologien sind das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Strukturen beschäftigt, in denen festgelegt wird, welche Teilmengen offen sind. Dazu wird einer Menge X eine Topologie T als Teilmenge von P(X) zugeordnet, so dass gilt: Leeres Set und ganz X liegen in T; die Vereinigung jeder Familie von Mengen aus T liegt in T; der endliche Schnitt zweier Mengen aus T liegt in T. Das Paar (X, T) wird als topologischer Raum bezeichnet. Offene Mengen definieren Nachbarschaften und bilden die Grundlage für Stetigkeit und Grenzwerte.

Typische Topologien sind der diskrete Topologie, in dem jede Teilmenge offen ist; die indiscrete Topologie; die Standardtopologie der reellen Zahlen, erzeugt durch offene Intervalle; die Kofinitetopologie; die Sorgenfrey-Topologie; sowie Produkt- und Quotienten-Topologien.

Zu den zentralen Begriffen gehören Stetigkeit, Homöomorphismus, Basis und Unterraumtopologie, Produkt- und Quotienten-Topologien. Eine Abbildung f: X→Y ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist. Offene Mengen lassen sich durch eine Basis generieren. Metrische Topologien entstehen aus Metriken; jede Metrik liefert eine Topologie, doch nicht alle Topologien sind metrisch.

Wichtige Eigenschaften sind Konnektivität, Kompaktheit und Trennungsaxiome (T0, T1, T2, auch Hausdorff genannt). Regularität und Normalität beschreiben, wie sich Punkte und geschlossene Mengen trennen lassen. Diese Eigenschaften dienen als Invarianten in der Topologie und helfen, verschiedene Räume zu unterscheiden.

Topologie hat Einfluss auf viele Bereiche der Mathematik, einschließlich Analysis, Geometrie und Algebraischer Topologie, und liefert Konzepte wie Homotopie und Orientierung, die in weiteren Theorien eine zentrale Rolle spielen.