Quantenzuständen

Quantenzustände bezeichnet den Zustand eines Quantensystems und bildet die Grundlage jeder Wahrscheinlichkeitsvorhersage in der Quantenmechanik. Formal erfolgt die Beschreibung im Hilbertraum H, in dem die zulässigen Zustände als Vektoren oder Dichteoperatoren auftreten.

Man unterscheidet reine Zustände und gemischte Zustände. Ein reiner Zustand wird durch einen Zustandsvektor |ψ⟩ ∈ H beschrieben; zwei Vektoren unterscheiden sich nur durch eine globale Phasenfaktor, der physikalisch irrelevant ist. Gemischte Zustände entstehen aus einer statistischen Mischung von reinen Zuständen und werden durch den Dichteoperator ρ beschrieben: ρ = ∑_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i|, mit p_i ≥ 0 und ∑_i p_i = 1.

Messung: Eine Observable A besitzt eine Spektraldarstellung A = ∑ a_j Π_j. Die Wahrscheinlichkeit des Resultats a_j ist p_j = Tr(ρ Π_j) (bei reinem Zustand p_j = ⟨ψ|Π_j|ψ⟩). Nach der Messung ergibt sich der neue Zustand gemäß dem Projektionspostulat.

Zeitentwicklung: Die zeitliche Entwicklung erfolgt durch die Hamiltonfunktion H. Im Schrödingerbild gilt |ψ(t)⟩ = U(t)|ψ(0)⟩ mit U(t) = exp(-iHt/ħ). Im Dichteoperator-Formalismus ist ρ(t) = U(t)ρ(0)U†(t). Die Evolution ist in der Regel unitär, Koherenzeffekte können durch Decoherence verloren gehen.

Erwartungswerte und Basisdarstellung: Der Erwartungswert eines Operators A ist ⟨A⟩ = Tr(ρ A). Zustände lassen sich in einer Orthonormalbasis des Hilbertraums darstellen; für zwei-dimensionale Systeme (Qubits) lässt sich der Zustand auf der Blochkugel visualisieren, reine Zustände liegen auf der Oberfläche, gemischte Zustände im Inneren.

Quantenzustände finden zentrale Anwendungen in der Quanteninformation und im Quantencomputing, wo Rechenleistung und Kommunikation von der präzisen Kontrolle von Zuständen abhängen.