Basisdarstellung

Basisdarstellung bezeichnet in der linearen Algebra die Darstellung eines Vektors relativ zu einer Basis B = {b1, …, bn} des Vektorraums V. Für jeden Vektor v ∈ V existieren eindeutig Skalare a1, …, an, so dass v = a1 b1 + … + an bn. Die Koeffizienten a1, …, an heißen Koordinaten von v in der Basis B, notiert als [v]_B.

Eine Basis muss linear unabhängig sein und den Raum V spannen; in einem endlich-dimensionalen Vektorraum V gilt daher, dass jedes Vektorpaar eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt wird. Die Koordinaten [v]_B vollständig bestimmen den Vektor v, und umgekehrt liefern sie die Darstellung in der Basis B.

Matrixform: B ist die Matrix mit den Basisvektoren als Spalten, also B = [b1 ... bn]. Dann gilt v = B a, wobei a der Spaltenvektor der Koordinaten [v]_B ist. Ist B quadratisch und invertierbar, existiert a = B^{-1} v; damit lassen sich Vektor und Koordinatenwechsel direkt berechnen.

Wechsel der Basis: Gegeben zwei Basen B und C. Die Koordinaten eines Vektors v in C hängen durch eine Change-of-basis-Matrix ab: [v]_C = P_{C<-B} [v]_B. Eine übliche Konstruktion ist P_{C<-B} = ([b1]_C ... [bn]_C); ihre Inverse liefert [v]_B aus [v]_C.

Beispiel und Anwendungen: In R^n ist die Standardbasis E = {e1, …, en}. Dann entspricht [v]_E einfach dem Vektor der Koordinaten von v. Die Basisdarstellung ist grundlegend für Koordinatentransformationen, Änderung der Darstellung von Vektoren durch Basenwechsel, und für die Beschreibung linearer Abbildungen in jeweils passenden Koordinatensystemen.