endlichdimensionalen

Endlichdimensionale Räume, auch als endlichdimensionale Räume bezeichnet, sind Vektorräume, deren Dimension endlich ist. Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis; daher lässt sich jeder Vektor durch eine endliche Koordinatendarstellung in Bezug auf eine Basis ausdrücken. In der Praxis bedeutet dies, dass sich viele Fragen der linearen Algebra auf eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden reduzieren lassen.

Wichtige Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus der Endlichkeit der Dimension. In einem endlichdimensionalen Normraum sind alle Normen äquivalent, was bedeutet, dass die Wahl einer bestimmten Norm keine fundamentalen Unterschiede im Verhalten von Vektoren und Abbildungen verursacht. Endlichdimensionale Räume sind vollständig (sie sind Banachräume), und jede lineare Abbildung zwischen einem endlichdimensionalen Raum und einem Normraum ist stetig. Matrizen liefern eine eindimensionale Repräsentation linearer Abbildungen in Bezug auf eine Basis, wodurch sich Abbildungen leicht berechnen lässt. Unterräume von endlichdimensionalen Räumen bleiben endlichdimensional, und jeder Unterraum hat eine endliche Basis.

Beispiele reichen von R^n mit der üblichen Vektorraumstruktur bis zu Polynomräumen wie P_{n-1} über einem Feld F. Außerdem lassen sich viele Probleme der linearen Algebra in endliche dimensionale Einstellungen übersetzen, etwa bei Eigenwerten, Basiswechseln oder Koordinatendarstellungen.

Im Gegensatz dazu stehen unendlichdimensionale Räume, wie Funktionenräume L^2[0,1] oder C[0,1], in denen viele analytische und topologische Feinheiten auftreten. Endlichdimensionale Räume dienen daher oft als einfachere Modelle und Ausgangspunkt für theoretische und numerische Methoden.