Vektorraumstruktur

Die Vektorraumstruktur besteht aus einem Satz V mit zwei Operationen: einer Addition +: V×V→V und einer Skalarmultiplikation ·: F×V→V, wobei F der zugrunde liegende Körper ist (typisch R oder C). V bildet dann einen Vektorraum, wenn (V,+) eine abelsche Gruppe ist und für alle a,b ∈ F und v,w ∈ V gilt: a·(v+w) = a·v + a·w, (a+b)·v = a·v + b·v, (ab)·v = a·(b·v) und 1·v = v. Dabei ist 0 das neutrale Element der Addition.

Unterräume: Eine Teilmenge W von V, die selbst Vektorraumstruktur mit denselben Operationen trägt, wird Unterraum genannt. Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, die linear unabhängig ist und V spannt; die Dimension dim(V) ist die Kardinalität dieser Basis. Räume können endlich- oder unendlichdimensional sein.

Lineare Abbildungen, T: V→W, erhalten die Struktur durch T(v+w)=T(v)+T(v) und T(a v)=a T(v). Der Raum Hom(V,W) besteht aus solchen Abbildungen und ist selbst ein Vektorraum. Der Dualraum V* besteht aus allen linearen Funktionalen auf V; bei endlicher Dimension gilt dim V* = dim V.

Zusätzliche Strukturen wie Bilinearformen, inneren Produkten oder Normen ordnen dem Vektorraum weitere Eigenschaften zu. Die Vektorraumstruktur bildet die Grundlage der linearen Algebra und spielt außerdem eine zentrale Rolle in Analysis, Geometrie und Anwendungen.