Koordinatendarstellung

Koordinatendarstellung bezeichnet die Darstellung geometrischer Objekte wie Punkte, Vektoren oder Funktionen durch Zahlenwerte, die Koordinaten, relativ zu einem Koordinatensystem. Sie dient der Beschreibung räumlicher Lage, ermöglicht Berechnungen und Transformationsregeln in Geometrie, lineare Algebra und verwandten Disziplinen.

Ein Koordinatensystem ordnet einem Nullpunkt sowie mehreren Achsen Koordinatenwerte zu. In der Ebene spricht man meist von kartesischen Koordinaten (x, y); in der Praxis gibt es auch Polarkoordinaten (r, φ) oder in der dritten Dimension kartesische, zylinder- und kugelkoordinaten. Die Koordinaten geben die Position eines Punktes oder die Komponentendarstellung eines Vektors an, relativ zum gewählten System.

Für Vektoren gilt: In einem Vektorraum V mit einer Basis B = (b1, ..., bn) hat jeder Vektor v die Koordinaten (v1, ..., vn) der Darstellung v = v1 b1 + ... + vn bn. Der Wechsel der Basis verändert die Koordinaten; er erfolgt durch eine invertierbare Basiswechselmatrix. Die Koordinaten sind damit nicht intrinsisch, sondern vom gewählten Koordinatensystem abhängig.

Anwendungen finden sich in der Computergrafik, Geometrie, Ingenieurwissenschaften und der Geoinformatik. In der Differentialgeometrie spricht man von Koordinatencharts, die lokale Darstellungen einer Mannigfaltigkeit liefern. Die Koordinatendarstellung ist damit ein zentrales Werkzeug zur Analyse, Visualisierung und Berechnung räumlicher Strukturen.