Polarkoordinaten

Polarkoordinaten sind ein Koordinatensystem zur Beschreibung von Punkten in der Ebene. Jeder Punkt wird durch zwei Werte angegeben: den Abstand r vom Ursprung (Pole) und den Winkel θ, gemessen vom positiven x-Achsenradius (Polarachse).

Beziehung zu kartesischen Koordinaten: x = r cos θ, y = r sin θ. Umgekehrt: r = sqrt(x^2 + y^2), θ = atan2(y, x). Dadurch lassen sich Punkte zwischen den beiden Koordinatensystemen eindeutig umrechnen.

Bereich und Varianten: Üblicherweise gilt r ≥ 0 und θ ∈ [0, 2π). Manche Darstellungen verwenden r ∈ R und θ ∈ R; negative Werte von r bedeuten eine Verschiebung um π im Winkel. Wegen der Periodizität des Winkels können mehrere Koordinatentripel (r, θ) dieselbe Position beschreiben.

Berechnung und Kurvenbeschreibung: In Polarform ist das Flächenelement dA = r dr dθ; der Jacobian der Transformation ist r. Kurven können durch Gleichung r = f(θ) beschrieben werden, zum Beispiel Kreissegmente oder Radienlinien.

Vorteile und Anwendungen: Polar koord inaten erleichtern Aufgaben mit Kreis- oder Ringstrukturen sowie Integrale über Kreissektoren oder Regionen mit radialer Symmetrie. Sie bieten oft eine einfachere Darstellung von Flächen- und Rotationssymmetrien als kartesische Koordinaten.

Erweiterungen: In drei Dimensionen wird die Ebene durch zylindrische Koordinaten beschrieben, wobei zusätzlich die z-Koordinate berücksichtigt wird; Polarkoordinaten beziehen sich hier auf den radialen Abstand und den Winkel in der Ebene.