endlichdimensionale

Endlichdimensionale Vektorräume sind Vektorräume über einem Körper F, die eine endliche Basis besitzen. Die Dimension dim V ist die Anzahl der Vektoren in jeder Basis. Aus der Endlichkeit folgt, dass jede lineare Unabhängigkeit zu einer Basis erweitert und jede Erzeugendensystem zu einer Basis reduziert werden kann. Alle Basen eines endlichdimensionalen Raums haben dieselbe Kardinalität.

Ein wichtiger Befund ist die Isomorphie zu F^n: Jeder n-dimensionale Vektorraums über F ist isomorph zu F^n, wobei n = dim V. Daraus folgt, dass lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Räumen durch Matrizen dargestellt werden können. Wichtige Sätze wie der Dimensionssatz (Rang-Nullität) gelten: Für eine lineare Abbildung T von V nach W gilt dim(Ker T) + dim(Im T) = dim V, sofern V endlichdimensional ist.

Beispiele sind der Raum R^n bzw. C^n mit den Standardoperationen, der Raum der Polynome bis Grad n, P_n, oder jeder endliche Vektorraum F^n. In der Analysis und linearen Algebra erleichtern Endlichdimensionale Räume viele theoretische und praktische Aspekte: Alle Normen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum sind zueinander Äquivalente, lineare Abbildungen sind automatisch stetig, und abgeschlossene Mengen mit einer Schranke sind kompakt.

Gegenüberstellung zu unendlichdimensionalen Räumen ist der wesentliche Unterschied, dass bei Letzteren viele der genannten Ergebnisse nicht mehr gelten und die Struktur deutlich komplexer ist. Endlichdimensionale Räume bilden daher eine zentrale Grundlage der linearen Algebra.