Koordinatensystemen

Koordinatensysteme sind Rahmen, die es ermöglichen, Punkte durch Zahlen zu kennzeichnen. Sie ordnen jedem Punkt eines Raums eine Koordinate zu, basierend auf einer festgelegten Orientierung von Achsen und einem Ursprung. In der Geometrie dienen sie dazu, Lagen, Abstände und Winkel quantitativ zu beschreiben.

Im zweidimensionalen Raum ist das kartesische Koordinatensystem am bekanntesten: zwei rechtwinklig zueinander stehende Achsen x und y, deren Schnittpunkt der Ursprung O ist. Die Koordinaten eines Punktes P geben seine Lage relativ zu diesen Achsen an. Im dreidimensionalen Raum kommt die z-Achse hinzu; oft wird ein rechtshändiges Orientierungssystem verwendet, bei dem die Reihenfolge x, y, z eine bestimmte Orientierung festlegt.

Zusätzlich zu kartesischen Koordinaten existieren weitere Koordinatensysteme, die dieselben Punkte mit anderen Koordinaten beschreiben. Beispiele sind Polarkoordinaten (in der Ebene: (r, φ)), zylindrische Koordinaten (r, φ, z) und sphärische Koordinaten (ρ, θ, φ). Oblique oder generelle kurvilineare Koordinatensysteme verwenden nicht orthogonale Basen und finden in bestimmten Anwendungen Nutzen.

Mathematisch hängt die Darstellung eines Punktes von der Wahl der Basis ab. Ein Punkt P lässt sich als Linearkombination P = x e1 + y e2 (+ z e3) ausdrücken, wobei x, y (und gegebenenfalls z) die Koordinatenwerte sind. Koordinatentransformationen wie Drehungen, Verschiebungen oder Skalierungen ändern diese Werte gemäß Regeln der linearen Algebra, oft beschrieben durch Matrizen.

Anwendungen finden Koordinatensysteme in Mathematik, Physik, Computergraphik, Vermessung und Geoinformatik. In der Geografie werden geografische Koordinaten mit Breiten- und Längengraden genutzt, oft verbunden mit Projektionen und Bezugssystemen.