Koordinatenwechsel

Koordinatenwechsel bezeichnet den Übergang von einer Darstellung eines Punktes oder Objekts in einem Koordinatensystem zu einer anderen Darstellungsform desselben Punktes. Dabei bleiben Lage und Geometrie unverändert, lediglich die numerischen Koordinatenwerte ändern sich. Koordinatenwechsel treten sowohl zwischen unterschiedlichen Koordinatensystemen (zum Beispiel kartesisch, polar, zylindrisch, sphärisch) als auch durch Transformationen innerhalb eines Systems auf (Drehung, Translation, Skalierung).

Mathematisch lässt sich ein allgemeiner Wechsel durch Transformationsregeln beschreiben. In der Ebene lässt sich x' = A x + b formulieren, wobei x und x' die Koordinatenvektoren in zwei Systemen, A eine 2x2 Matrix und b ein Verschiebungsvektor ist. A beschreibt Rotation, Skalierung oder deren Kombination. In homogenen Koordinaten werden solche Transformationen durch 3x3 Matrizen beschrieben. Projektive Transformationen erweitern diese Modelle und ermöglichen perspektivische Verzerrungen durch Verhältnisse der Koordinaten.

Beispiele: Eine Rotation um Winkel θ ist gegeben durch x' = x cos θ − y sin θ, y' = x sin θ + y cos θ. Eine Translation lautet x' = x + t_x, y' = y + t_y. Der Wechsel von kartesischen zu polaren Koordinaten erfolgt durch r = sqrt(x^2 + y^2) und θ = atan2(y, x).

Anwendungen finden sich in Geometrie, Computer Vision, Robotik, Grafik sowie Vermessung und Kartografie; Koordinatenwechsel erleichtert die Integration von Messdaten unterschiedlicher Quellen. Eigenschaften: Orthogonale Transformationen erhalten Abstände und Winkel; allgemeine affine Transformationen bewahren Linien und Parallelität, ändern jedoch Abstände durch eine Skalierung. Die Determinante einer Transformationsmatrix gibt die Flächenveränderung an. Projektive Transformationen ermöglichen zudem Perspektivenveränderungen.