Flächenveränderung

Flächenveränderung bezeichnet die Veränderung der Größe einer Fläche, insbesondere eines Gebietes in der Ebene oder einer Oberfläche in drei Dimensionen, infolge von Deformation, Randverschiebung oder Skalierung. Der Begriff wird in Geometrie, Physik, Biologie und Materialwissenschaft verwendet, um dynamische Prozesse der Flächenausdehnung oder -verkleinerung zu beschreiben.

Mathematisch lässt sich die Flächenveränderung oft durch die zeitliche Ableitung der Fläche A(t) ausdrücken. Sei Ω(t) ein zeitabhängiges Gebiet mit Rand Γ(t), der sich in Richtung der Normalen mit der Normalgeschwindigkeit v_n bewegt. Gilt unter geeigneten Randbedingungen dA/dt = ∮_{Γ(t)} v_n ds, wobei ds das Längenelement des Randes und v_n die Normalkomponente der Randgeschwindigkeit ist. Bei einer reinen Skalierung um einen Faktor α wächst die Fläche quadratisch: A' = α^2 A.

Beispiele: Eine Kreisfläche mit Radius r hat A = π r^2; bei dr/dt wird dA/dt = 2π r dr/dt.

Fortgeschrittene Konzepte: Die Steiner'sche Formel beschreibt, wie sich die Fläche ändert, wenn man eine Figur um einen Randabstand r erweitert (Minkowski-Summe mit einem Kreis). Für konvexe Mengen K gilt A(K_r) = A(K) + P(K) r + π r^2, wobei P(K) der Umfang ist.

Anwendungen: In der Physik und Biologie bei Wachstumsprozessen, in der Materialwissenschaft bei Diffusion, Beschichtungen oder Korrosion, in der Computergrafik bei Morphing oder Kollisionsberechnungen.

Siehe auch: Fläche, Flächeninhalt, skalare Geometrie, Steinerformel, Minkowskiaddition.