Transformationsmatrix

In der linearen Algebra beschreibt eine Transformationsmatrix eine lineare Transformation T von einem Vektorraum in einen anderen, typischerweise T: R^n -> R^m. Wird eine Vektor x als Spaltenvektor dargestellt, gilt T(x) = Ax, wobei A eine m×n-Matrix ist. Die Spalten von A sind die Koordinatenbilder der Standardbasisvektoren des Ursprungsraums; damit ist A die Matrix der Transformation in der gegebenen Basis.

Eigenschaften: Die Matrixmultiplikation spiegelt die Verkettung von Transformationen wider: T2∘T1 entspricht A2A1. Eine lineare Transformation ist genau dann invertierbar, wenn A invertierbar ist. Eigenschaften wie Determinante, Rang, Eigenwerte liefern Informationen über Flächen- oder Raumausdehnung, Umkehrbarkeit und feste Richtungen.

Spezialformen: In 2D gängig sind Rotations-, Skalierungs-, Spiegelungs- und Scherungsmatrizen; in 3D ergeben sich ähnliche Matrizen. Um lineare Transformationen inklusive Translation zu erfassen, verwendet man homogene Koordinaten, d.h. 3×3-Matrizen in 2D oder 4×4-Matrizen in 3D, mit einer zusätzlichen Koordinatenkomponente. Beispiele: Rotationsmatrix R(θ) in 2D: [[cosθ, -sinθ, 0], [sinθ, cosθ, 0], [0, 0, 1]]; Translationsmatrix T(tx, ty): [[1, 0, tx], [0, 1, ty], [0, 0, 1]].

Anwendungen: Transformationen von Vektoren in der Computergraphik, Robotik, Physik und Geometrie, Koordinatentransformationen sowie Change-of-basis-Operationen in der linearen Algebra. Die Transformationmatrix dient als praktisches Werkzeug zur Darstellung und Berechnung geometrischer Änderungen.