4×4Matrizen

4×4-Matrizen sind quadratische Matrizen mit vier Zeilen und vier Spalten. Sie werden oft als A ∈ F^{4×4 bezeichnet, wobei F das betrachtete Skalarenfeld ist (zum Beispiel R oder C). Die Einträge Aij beschreiben die Wirkung der Matrix auf einen Vektor in Vierdimensionaler Raum.

Zu den grundlegenden Operationen gehören Addition, Multiplikation, Transponierte und Inverse. Die Multiplikation von A mit B ergibt eine neue 4×4-Matrix. Die Transponierte Aᵀ erhält man durch Spiegelung der Einträge entlang der Hauptdiagonale. Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihr Determinant det(A) ungleich null ist; dann existiert eine eindeutige Inverse A⁻¹, mit der sich lineare Gleichungen lösen lassen.

Wichtige Eigenschaften einer 4×4-Matrix umfassen Sprachen der Determinante, der Spur tr(A) (Summe der Diagonaleinträge) und den Rang. Die Eigenwerte einer 4×4-Matrix liefern Informationen über Stabilität und Transformationseigenschaften der zugehörigen Abbildung.

Besondere Typen von 4×4-Matrizen sind die Identitätsmatrix I4, diagonale Matrizen, Permutationsmatrizen und orthogonale Matrizen A mit AᵀA = I. Orthogonale Matrizen erhalten Längen und Winkel; sie praktizieren häufig Rotationen oder Spiegelungen in vier Dimensionen. In der Computergrafik werden 4×4-Matrizen oft in homogener Koordinatendarstellung verwendet, um affine Transformationen (Rotation, Skalierung, Translation) eines 3D-Prädents zu beschreiben.

Anwendungen finden sich in der Lösung linearer Gleichungssysteme, bei Transformationen von Vektorräumen F^4, in der Physik, Robotik und Computergrafik. Die Invertierbarkeit, der Determinant und die Eigenwerte bestimmen maßgeblich die Verhalten der zugehörigen linearen Abbildung.