3×3Matrizen

3×3-Matrizen sind Matrizen mit drei Zeilen und drei Spalten. Eine solche Matrix wird oft mit A bezeichnet und enthält die Einträge a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33. Sie gehören zum Vektorraum der 3×3-Matrizen und können über das Feld F (typischerweise reelle oder komplexe Zahlen) definiert werden.

3×3-Matrizen dienen der Darstellung linearer Abbildungen in drei Dimensionen. Eine Abbildung A: R^3 → R^3 wirkt auf einen Vektor x durch das Matrix-Vektor-Produkt A x. Die Spalten von A entsprechen den Koordinaten der Bilder der Standardbasisvektoren e1, e2 und e3.

Zu den grundlegenden Operationen gehören Addition, Multiplikation, Transponieren und Skalierung. Die Multiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ, das heißt A B ≠ B A im Allgemeinen. Die Determinante det(A) liefert wichtige Informationen über die Matrix und ihre Invertierbarkeit: det(A) ≠ 0 bedeutet, dass A eine Inverse A^{-1} besitzt. Die Inverse kann über A^{-1} = (1/det(A)) adj(A) oder durch Gauss-Verfahren bestimmt werden. Die Determinantenformel lautet det(A) = a11(a22 a33 − a23 a32) − a12(a21 a33 − a23 a31) + a13(a21 a32 − a22 a31).

Eigenwerte und -vektoren ergeben sich aus der Gleichung det(A − λ I) = 0. Die 3×3-Matrix kann bis zu drei Eigenwerte haben, real oder komplex, je nach Feld und Matrix. Typische Spezialformen sind Diagonal- oder Dreiecksformen, sowie symmetrische Matrizen (aij = aji). Orthogonale Matrizen A erfüllen A^T A = I und stellen häufig Rotationen oder Spiegelungen dar.

Anwendungen finden sich in Physik, Computergraphik, Robotik, Computervision und der Lösung linearer Gleichungssysteme. Die Spalten von A geben die Koordinaten der transformierten Basisvektoren an, wodurch A als Darstellung einer linearen Abbildung relativ zu einem gewählten Koordinatensystem dient.