Spaltenvektor

Ein Spaltenvektor ist in der linearen Algebra eine n×1-Matrix, die aus den Komponenten x1, x2, ..., xn besteht. Er wird typischerweise senkrecht angeordnet dargestellt, etwa als x = [x1; x2; ...; xn]. Die Komponenten stammen aus einem Zahlenbereich, meist den reellen Zahlen R oder den komplexen Zahlen C, und der Vektor wird als Element von F^n geschrieben.

Der Transponierte eines Spaltenvektors x ergibt einen Zeilenvektor x^T; damit gilt x^T = [x1, x2, ..., xn].

Spaltenvektoren lassen sich addieren und mit Skalaren multiplizieren: x + y und αx. Die Matrix-Vektor-Produkte: Eine m×n-Matrix A bildet aus einem n×1-Vektor x den Vektor Ax.

Die Spalten des Einheitsmatrizen In sind Spaltenvektoren e1, e2, ..., en. Jeder Spaltenvektor x entspricht der Koordinatenliste in dieser Basis.

Anwendungen: Spaltenvektoren dienen zur Darstellung von Lösungen linearer Gleichungssysteme Ax = b, zur Darstellung von Koordinaten in einer Basis und im Rahmen von Eigenwertproblemen: A v = λ v. Wichtige Operationen schließen Normen und Abstände ein, insbesondere die euklidische Norm ||x|| = sqrt(x1^2 + ... + xn^2), sowie das innere Produkt x^T y.