Spaltenvektoren

Spaltenvektoren sind Vektoren mit einer einzigen Spalte. Formal handelt es sich um Elemente des Vektorraums F^n, oft mit F als das Grundfeld (gewöhnlich die reellen Zahlen R oder die komplexen Zahlen C). Ein Spaltenvektor der Dimension n hat die Form v = [v1; v2; ...; vn]^T oder einfach v = (v1, v2, ..., vn)^T, wobei vi die Koordinaten des Vektors sind.

Notationen und Darstellung: Spaltenvektoren tragen eine klare Orientierung von unten nach oben. Die Standardbasis von R^n besteht aus den Spaltenvektoren e1, e2, ..., en, wobei jedes ei ein 1 an der i-ten Position und Nullen sonst hat. Jedes Vektor v kann als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben werden: v = v1 e1 + v2 e2 + ... + vn en. Entsprechend werden Koordinaten eines Vektors oft als Spaltenvektor dargestellt.

Operationen und Zusammenhang zu Matrizen: Spaltenvektoren lassen sich addieren und mit Skalaren multiplizieren. Für eine Matrix A ∈ F^{m×n gilt die Matrix-Vektor-Multiplikation Av ∈ F^m, das heißt ein Spaltenvektor wird durch eine lineare Abbildung A auf einen neuen Spaltenvektor abgebildet. Die transponierte Form v^T ergibt eine Zeile; das Skalarprodukt zweier Vektoren w wird durch v^T w berechnet. Die Länge oder Norm eines Spaltenvektors wird durch geeignete Normen definiert, z. B. die euklidische Norm ||v||2 = sqrt(v1^2 + ... + vn^2).

Verwendung: Spaltenvektoren dienen zur Darstellung von Punkten oder Zuständen in n-dimensionalen Räumen, als Koordinaten in Lösen linearer Gleichungssysteme (A x = b) und als Koordinatenvektoren von Vektoren in verschiedenen Anwendungen der Mathematik, Physik und Informatik.