Zeitentwicklung

Zeitentwicklung bezeichnet in der Physik und in verwandten Bereichen die Veränderung eines Systems über die Zeit. Sie wird typischerweise beschrieben durch eine dynamische Gleichung oder einen Zeitoperator, der den Zustand zu einem späteren Zeitpunkt aus dem Anfangszustand bestimmt.

In klassischen Systemen folgt die Zeitentwicklung aus deterministischen oder stochastischen Differentialgleichungen. Bei deterministischen Systemen lautet sie dx/dt = F(x,t). Die Lösung liefert Trajektorien im Phasenraum; bei stochastischen Prozessen erscheinen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die durch Gleichungen wie den Fokker-Planck- oder Kolmogorov-Gleichungen beschrieben werden.

In der Quantenmechanik wird die Zeitentwicklung durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben: iħ d/dt |ψ(t)⟩ = H|ψ(t)⟩. Die Entwicklung des Zustands erfolgt durch die zeitabhängige Abbildung U(t,t0) = exp(-iH(t-t0)/ħ mit |ψ(t)⟩ = U(t,t0)|ψ(t0)⟩. Bei offenen Systemen wird der Zustand durch den Dichtematrix-Operator ρ beschrieben und die Entwicklung durch die Liouville- beziehungsweise Lindblad-Gleichung: dρ/dt = -(i/ħ)[H, ρ] + D(ρ).

Weitere Perspektiven betreffen die Rolle der Zeit in der Relativitätstheorie, wo Zeit keine universelle Größe ist und von der gewählten Gleichung oder Folienstruktur abhängt. In der Dynamik wird Zeitentwicklung außerdem im Kontext von Vorhersage, Stabilität, Chaos und Steuerung untersucht. Numerische Methoden der Zeitintegration, wie Runge-Kutta-Verfahren, dienen der praktischen Bestimmung der Entwicklung.

Historisch entstand der Begriff im 20. Jahrhundert mit der Formulierung der Schrödinger-Gleichung und den verschiedenen Darstellungen der Zeitentwicklung (Schrödinger- und Heisenberg-Bild).