Dichteoperatoren

Dichteoperatoren sind in der Quantenmechanik die mathematische Beschreibung statistischer Zustände. Für einen Zustand im Harmonspektrum H ist ein Dichteoperator ρ ein positiv semidefinierter, hermitescher Operator mit Tr ρ = 1. In endlicher Dimensionalität entspricht dies einer dichteren Matrix, die sowohl reine als auch gemischte Zustände umfasst.

Reine Zustände lassen sich als ρ = |ψ⟩⟨ψ| ausdrücken, gemischte Zustände hingegen entstehen durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Zustände: ρ = ∑_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i|. Die Zerlegung in ein Ensemble ist im Allgemeinen nicht eindeutig; verschiedene Ensembles können denselben ρ erzeugen. Die Reinheit des Zustands wird durch Tr(ρ^2) gemessen: Tr(ρ^2) = 1 für rein, < 1 für gemischt.

Erwartungswerte von Observablen A lassen sich durch ⟨A⟩ = Tr(ρ A) berechnen. Die spektrale Zerlegung ρ = ∑_k λ_k |φ_k⟩⟨φ_k| zeigt, dass die λ_k Wahrscheinlichkeiten und zugleich die Eigenwerte von ρ sind, wobei 0 ≤ λ_k ≤ 1 und ∑_k λ_k = 1 gilt.

Die zeitliche Entwicklung eines geschlossenen Quantensystems wird durch die von-Neumann-Gleichung beschrieben: ρ(t) = U(t) ρ(0) U†(t) mit U = e^{-iHt/ħ}. Allgemeiner gelten CPTP-Transformationen; Teiltransponierte oder partielle Spuren liefern reduzierte Dichteoperatoren ρ_A = Tr_B ρ für Teilbereiche eines zusammengesetzten Systems.

Die Entropie S(ρ) = −Tr(ρ log ρ) misst die Unordnung des Zustands; rein zerfällt zu S(ρ) = 0, gemischte Zustände weisen positive Entropie auf. Dichteoperatoren ermöglichen eine konsistente Behandlung von Zuständen in endlichen wie auch unendlichen Systemen und bilden das Fundament der Quanteninformation.