Projektionspostulat

Projektionspostulat bezeichnet in der projektiven Geometrie ein grundlegendes Axiom, das die Projektion von Punkten aus einem festen Zentrum auf eine festgelegte Projek tionslinie festlegt. Gedanklich arbeitet man mit einem festen Zentrum S und einer festen Projek tionslinie l, die S nicht enthält. Für jeden Punkt X ungleich S definiert man X' als Schnittpunkt von l mit der Geraden SX. Die Zuordnung X → X' ist damit eindeutig bestimmt.

Formell gilt: Die Abbildung, die jedes X auf den Schnittpunkt X' von l mit SX abbildet, besitzt die folgenden Eigenschaften. Wenn X auf einer Geraden a liegt, die nicht durch S verläuft, dann liefert die Projektion eine eindeutige Abbildung von a auf die gesamte Linie l; die Zuordnung ist dabei injektiv und surjektiv auf l. Verläuft jedoch eine Gerade a durch S, dann kollabiert die Projektion auf einen einzigen Punkt X' = a ∩ l. Damit wird die gesamte Projektion zwischen Linien, die S nicht enthalten, und der Projek tionslinie l als projektive Abbildung realisiert.

Das Projektionspostulat dient als zentrale Grundlage für die Definition von Projektivtransformationen und Koordinatensystemen in der projektiven Geometrie. Es ermöglicht die Übertragung von Verhältnissen und Konfigurationen von einer Geraden auf eine andere und liefert die Voraussetzung dafür, dass das Kreuzverhältnis unverändert bleibt unter projection. In historischen Darstellungen wurde es genutzt, um projektive Koordinaten zu entwickeln und die Invarianz von Projektionen zu betonen.

Siehe auch: Projektive Geometrie, Projektion, Projektivtransformation, Kreuzverhältnis.