Positiefdefinitieve

Positiefdefinitieve is een term uit de lineaire algebra die meestal wordt gebruikt voor matrices of bilineaire vormen met een sterke positieven definitie. In de reële setting betekent een matrix A dat A positiefdefinitief is als x^T A x > 0 voor alle niet-nul vectors x in R^n. In dat geval is A meestal symmetrisch; in het complexe geval spreken we van Hermitisch positiefdefinitief als z^* A z > 0 voor alle niet-nul z in C^n.

Naast de definitie zijn er meerdere equivalentievoorwaarden. Voor een reële symmetrische matrix A geldt: A is positiefdefinitief als alle eigenwaarden van A strikt positief zijn. Een andere equivalentie is Sylvester’s criterium: alle leidende hoofdminoren van A zijn positief. Een belangrijk gevolg is dat A invertibel is en er een unieke Cholesky-decompositie bestaat, A = L L^T, met L lagertrieel. Hermitisch positiefdefinitief geldt dezelfde eigenschap wat betreft eigenwaarden (alleen positief) en decomposities zoals A = U^* U.

Positiefdefinitiviteit heeft praktische gevolgen. Het garandeert dat de gerelateerde kwadratische vorm streng convex is, wat cruciaal is voor de uniciteit van optimum in optimalisatieproblemen. In de statistiek en ketensimulaties zijn positieve semidefiniënte matrices gebruikelijk als covariantiematrizen; positiefdefinitief impliceert in elk geval een vol rank en invertibiliteit, terwijl semidefinitie toestaat van nulwaarde-eigenwaarden.

Verwante concepten zijn positief semidefinitief (alle x: x^T A x ≥ 0) en niet-positiefdefinitief of indefinit (waar x^T A x kan variëren). Positive definitie speelt een centrale rol in numerieke linear algebra, optimalisatie, statistiek en eigenschappen van bilineaire vormen.