Nulpunten

In de wiskunde is een nulpunt (meervoud nulpunten) van een functie f een punt x0 in het domein van f waarvoor f(x0) = 0. Het nulpunt wordt ook wel nulwaarde of wortel genoemd. Nulpunten zijn de punten waar de grafiek van f de x-as snijdt en geven aan waar de functie waarde nul aanneemt.

Bij polynomen spelen nulpunten een centrale rol. Voor een polynoom p(x) is er volgens de stelling van de fundament van algebra in het complexe vlak precies zo veel nulpunten als de graad van p, gerekend met multipliciteit. Reële nulpunten zijn de nulpunten die op de reële as liggen. Een nulpunt met multipliciteit m > 1 beïnvloedt hoe de grafiek de x-as raakt of kruist: bij oneven multipliciteit kruist de grafiek de as, bij even multipliciteit raakt het de as en keert terug.

Zoekmethoden om nulpunten te vinden kunnen algebraïsch of numeriek zijn. Algebraïsche methoden omvatten factoren ontbinden, het toepassen van het rationalewortel-theorema en eigenschap van cauchy-achtige criteria. Voor meer ingewikkelde functies worden numerieke methoden gebruikt, zoals de bisectiemethode, de Newton-Raphson-methode en de sequentiemethode, soms met afgeleide of zekere schattingen als input.

In functies met meerdere variabelen f: R^n → R vormen de nulpunten een verzameling {x | f(x) = 0}, die meestal geen enkel punt is maar een kromme, oppervlakte of een nog complexere nulset. Voor analytische functies in het complexe vlak zijn nulpunten häufig isoleren en krijgen ze een orde (multipliciteit) toegekend.

Voorbeelden zijn onder meer sin(x) met nulpunten bij x = k·π en x^2 − 4 met nulpunten bij x = −2 en 2. Nulpunten spelen een belangrijke rol in oplossingen van vergelijkingen, signaalanalyse en optimalisatie.