NavierStokesrelaties

NavierStokesrelaties zijn de kernvergelijkingen van de vloeistofmechanica die het gedrag van viskeuze Newtoniaanse vloeistoffen beschrijven. Ze koppelen behoud van massa en momentum aan de constitutieve relatie voor spanning en vormen zo de dynamische beschrijving van vloeistoffen in beweging.

Continuïteitsvergelijking: ∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0. Voor inkompressibele vloeistoffen geldt ∇·u = 0.

Beweging (momentum)vergelijking: ρ(Du/Dt) = ∇·σ + f, met D/Dt = ∂/∂t + (u·∇) de materiaalafgeleide en f de lichaamkrachten.

Constitutieve relatie: σ = -p I + τ, met τ = μ(∇u + ∇u^T) + λ(∇·u)I. Voor inkompressibele Newtoniaanse vloeistoffen met constante viscositeit vereenvoudigt τ tot μ(∇u + ∇u^T). Dit leidt tot de gebruikelijke vorm ρ(Du/Dt) = -∇p + μ∇^2 u + f.

Speciale gevallen: μ = 0 levert de Euler-vergelijkingen (inviscid), terwijl bij zeer lage Reynoldsgetallen de inertie verwaarloosd kan worden, wat tot Stokes-stroom leidt.

Randvoorwaarden en gebruik: randvoorwaarden zoals no-slip op vaste grenzen en beginvoorwaarden bepalen de oplossing; bij compressibele stromen speelt ook een relatie tussen druk en dichtheid een rol. Het Re-getal (Re = ρUL/μ) geeft de verhouding tussen inertie en viscose krachten aan.

Wiskundig en computationeel: in drie dimensies blijft bestaan en gladheid van algemene oplossingen een beroemd open probleem, terwijl 2D-flows beter begrepen zijn. Numerieke benaderingen omvatten eindige-verschil-, eindige-element- en spectrale methoden.

Geschiedenis: de vergelijkingen zijn vernoemd naar Claude-Louis Navier en George Gabriel Stokes, met eerdere bijdragen van Poiseuille.