momentumvergelijking

De momentumvergelijking is de wiskundige formulering van de conservatie van lineaire impuls (momentum) in mechanische systemen. Hij zegt dat de tijdsafhankelijke verandering van de totale impuls gelijk is aan de som van de externe krachten die erop inwerken.

In de klassieke mechanica voor een systeem van deeltjes geldt F_ext = dp/dt, waarbij p de totale impuls is (p = ∑ m_i v_i). Zo wordt duidelijk hoe veranderingen in snelheid en massa van de componenten samen de totale impuls bepalen onder invloed van krachten.

In continuümmechanica wordt de balans van lineaire impuls voor een continu medium uitgedrukt met velden. Voor dichtheid ρ en snelheidsveld u geldt de generieke vorm: ∂(ρu)/∂t + ∇·(ρu⊗u) = ∇·σ + f, waar σ de Cauchy-stress tensor is en f de kracht per volumeillustratie van velden zoals de zwaartekracht.

Bij Newtoniaanse vloeistoffen kan σ worden geschreven als σ = -pI + τ, met druk p en deviatorische spanning τ. Voor een Newtoniaanse vloeistof is τ ≈ μ(∇u + ∇u^T) + λ(∇·u)I. Incompressibele stroming geldt bovendien ∇·u = 0, waardoor de vorm verder vereenvoudigt.

De integraal- of controle-volume-vorm van de vergelijking volgt uit de Reynolds-transports-theorema en luidt: d/dt ∫_V ρu dV = ∮_S (-p n) dS + ∮_S τ·n dS + ∫_V f dV. De momentumvergelijking is de basis voor de Navier-Stokes-vergelijkingen en voor de dynamische balans in zowel vloeistoffen als vaste stoffen.