Multipolemethode

De multipolemethode is een verzamelnaam voor numerieke algoritmen die potentiaalvelden berekenen die ontstaan door vele bronnen. Het doel is de rekenlast van interacties tussen N bronnen te verlagen van O(N^2) naar aanzienlijk lagere complexiteit, meestal rond O(N) tot O(N log N) bij grote N. Toepassingen vinden plaats in natuurkunde, engineering en computationele wetenschappen, onder meer bij N‑body simulaties en elektrostatica.

De kernidee is het gebruik van multipolexpansies en hiërarchische ruimtelijke verdelingen. De ruimte waarin de bronnen liggen wordt opgedeeld in een hiërarchie (bijv. een quadtree in 2D of een octree in 3D). Voor elke cel worden multipolemomenten berekend die de bijdrage van alle bronnen in die cel samenvatten. Voor verre veldinteracties worden deze samenvattingen vertaald naar lokaal veld in andere cellen via vertaalslagen zoals multipole-to-local (M2L). Nabije interacties worden direct berekend om nauwkeurigheid te waarborgen.

Expansies en vertalingen vormen de technische kern. In 3D wordt vaak gewerkt met bolvormige harmonischen, terwijl in 2D andere, minder ingewikkelde expansies mogelijk zijn. De beroemde Fast Multipole Method (FMM) van Greengard en Rokhlin uit 1987 maakte deze aanpak praktisch door een beheersbare stapeling van expansies en vertalingen, waardoor de berekening voor grote systemen schaalbaar wordt. Een verwante benadering is het Barnes–Hut algoritme uit 1986, dat eveneens hiërarchisch werkt maar met een andere foutcontrole.

Toepassingen omvatten zwaartekracht- en elektrostatische N‑bodyproblemen in astrofysica, moleculaire dynamica, akoestische en elektromagnetische simulaties, en andere situaties met langeafstandsinteracties. De methode biedt aanzienlijke efficiëntie bij grote N, maar vereist zorgvuldige afstemming van parameters zoals de orde van de expansie en de bouwstrategie. Samenvattend is de multipolemethode een krachtige techniek voor snelle berekeningen van veellichaamsinteracties.