Kurvenparameterisierung

Kurvenparameterisierung beschreibt eine Zuordnung eines Parameters t aus einem Intervall zu Punkten einer Kurve im Raum. In der Ebene R^2 oder im Raum R^3 wird eine Kurve oft durch eine Vektorfunktion r(t) = (x(t), y(t)) bzw. r(t) = (x(t), y(t), z(t)) beschrieben. Die Kurve entsteht, indem t Werte durchläuft und jedem t ein Punkt der Kurve zugeordnet wird.

Eine Parameterisierung gilt als regelmäßig, wenn der Ableitungsvektor r′(t) nicht verschwindet, das heißt der Geschwindigkeitsvektor ist ungleich null. Verschiedene Parameterisierungen können dieselbe geometrische Kurve beschreiben; durch eine glatte invertierbare Funktion φ kann man eine neue Parameterisierung r̃(t) = r(φ(t)) erhalten, ohne die Geometrie zu verändern.

Ein wichtiger Spezialfall ist die Bogenlängenparameterisierung, bei der der Parameter s tatsächlich die Bogenlänge misst. Dann hat r′(s) die Länge 1 und die Kurve wird mit konstanter Geschwindigkeit durchlaufen. Nicht alle Kurven lassen sich leicht mit Bogenlänge parametrisieren, aber jede reguläre Kurve besitzt lokal eine solche Darstellung.

Typen von Parameterisierungen umfassen polynomische, rationale und splinebasierte Ansätze. Polynomische Parameterisierung verwendet Polynome in t, rationale Parameterisierung setzt Brüche aus Polynomen ein, und Splines (z.B. B-Splines, NURBS) ermöglichen glatte, flexible Approximationen insbesondere in CAD und Computer Graphics.

Anwendungen finden sich in der computergestützten Geometrie, CAD, Robotik, Animation und Pfadplanung. Die Geometrie einer Kurve hängt von der Parameterisierung nur durch eine Reparametrisierung ab; geometrische Eigenschaften bleiben invariant unter einer geeigneten Änderung des Parameters.