Vektorfunktion

Eine Vektorfunktion, auch vektorfunktion genannt, ist eine Zuordnung von einem Intervall I der reellen Zahlen in den n-dimensionalen Raum R^n. Dabei ordnet sie jedem Parameter t in I einen Vektor f(t) = (x1(t), x2(t), ..., xn(t)) zu. Typische Räume sind R^2 oder R^3, sodass eine Vektorfunktion oft als r(t) = (x(t), y(t)) oder r(t) = (x(t), y(t), z(t)) geschrieben wird.

Der Funktionswert einer Vektorfunktion ist ein Vektor, dessen Komponenten reelle Funktionen von t sind. Der Definitionsbereich I umfasst üblicherweise Werte von t, für die alle Komponenten definiert sind. Die Bildmenge f(I) liegt in R^n.

Die Ableitung einer Vektorfunktion erfolgt komponentenweise: f'(t) = (x1'(t), x2'(t), ..., xn'(t)). Sie beschreibt die Änderungsrate der einzelnen Koordinaten und wird oft als Tangentenvektor der Kurve interpretiert, sofern r'(t) ≠ 0 existiert. Die zweite Ableitung r''(t) gibt die Änderungsrate von r'(t) an.

Anwendungsbeispiele finden sich in Physik und Geometrie. Das Ortsvektor r(t) beschreibt die Lage eines Teilchens; v(t) = r'(t) ist die Geschwindigkeit und a(t) = r''(t) die Beschleunigung. In der Geometrie parametrisiert r(t) eine Kurve im Raum, deren Bogenlänge durch s(t) = ∫ ||r'(u)|| du gemessen wird. Der Einheits-Tangentenvektor ist T(t) = r'(t)/||r'(t)||, vorausgesetzt r'(t) ≠ 0.

Beispiele einfache Vektorfunktionen: in R^2 etwa r(t) = (t, t^2); in R^3 r(t) = (cos t, sin t, t). Vektorfunktionen ermöglichen lineare und nichtlineare Parametrisierungen von Kurven.