Polynomische

Polynomische bezeichnet in der Mathematik das Adjektiv, das sich auf Polynomien bezieht. Ein Polynom ist eine endliche Summe von Termen der Form a_k x^k mit ganzzahligen Exponenten k≥0 und Koeffizienten a_k aus einem Körper wie den reellen oder komplexen Zahlen. Polynomische Objekte umfassen Polynomfunktionen, polynomische Gleichungen und polynomische Ausdrücke.

Polynomische Funktionen f: R→R oder C→C werden durch ein Polynom gegeben, zum Beispiel f(x) = 3x^3 − 2x^2 + x. Der Grad eines Polynoms ist der höchste Exponent mit nichtverschwindendem Koeffizienten. Polynome lassen sich addieren, subtrahieren, multiplizieren und kompositionieren; die Menge aller Polynome über einem Körper bildet einen Vektorraum und eine Ringstruktur.

Nullstellen eines Polynoms P(x) sind die Werte x, für die P(x)=0. In den komplexen Zahlen besitzt jedes Polynom der Grad n genau n Nullstellen mit Vielfachheiten (Fundamentalsatz der Algebra). Reelle Polynome können weniger als n reelle Nullstellen haben, dafür mehr komplexe.

Polynomische Funktionen zeichnen oft glatte Kurven; ihre Ableitungen und Integrale lassen sich ebenfalls in Polynombildung ausdrücken. Polynomische Ausdrücke liefern Systematik in der Analysis, zum Beispiel als Taylor-Polynome zur Approximation von Funktionen.

Anwendungen finden sich in der Numerik, Algebra und Analysis: Interpolation (Lagrange, Newton), Approximation, Lösung polynomialer Gleichungssysteme und in der Geometrie zur Beschreibung von Kurven durch Polynomgleichungen.

Beispiele: p(x) = 2x^2 + x − 5; q(x) = x^3 − 6x + 1. Der Begriff kann je nach Kontext auch allgemein für polynomiale Strukturen in anderen mathematischen Bereichen verwendet werden.