Irrationeel

Irrationeel is een term uit de wiskunde die een reel getal beschrijft dat niet kan worden uitgedrukt als een breuk van twee gehele getallen. In decimale vorm heeft een irrationeel getal een oneindige, niet-voortzetting herhalende uitbreid­ing; met andere woorden, de decimale voorstelling loopt door zonder te stoppen en zonder periodiek patroon.

Voorbeelden van irrationele getallen zijn onder meer sqrt(2), sqrt(3), pi en e. Sommige irrationele getallen zijn algebraïsch, wat betekent dat ze oplossing zijn van een polynoom met gehele coëfficiënten; andere irrationele getallen zijn transcendent, wat betekent dat ze geen oplossing zijn van een dergelijk polynoom (pi en e zijn bekende voorbeelden). Het bestaan van irrationele getallen toont aan dat niet elk reëel getal als breuk kan worden geschreven.

Eigenschappen en relaties: de verzameling irrationele getallen vormt samen met de rationale getallen de gehele verzameling van reële getallen. De irrationele getallen zijn onbegrensd en ontelbaar, en ze zijn dicht bij elkaar in de reële lijn, wat betekent dat tussen twee reële getallen altijd een irrationeel getal ligt. De som of het product van twee irrationale getallen hoeft niet irrationeel te zijn; bijv. sqrt(2) + (1 - sqrt(2)) = 1 is rationeel, terwijl veel andere combinaties irrationeel blijven.

Toepassing en betekenis: irrationele getallen zijn fundamenteel in analyse en getaltheorie en helpen bij het modelleren van natuurlijke verschijnselen, meetprocessen en de studie van de structuur van de getallen.