Heavisidefunctie

De Heavisidefunctie, meestal aangeduid met H(x) of u(x), is een discontinue functie die een eenheidsstap op x=0 voorstelt. Voor x < 0 geldt H(x) = 0, voor x > 0 geldt H(x) = 1. De waarde bij x = 0 is afhankelijk van de gebruikte conventie: vaak wordt H(0) = 0, 1 of 1/2 gekozen. De functie wordt veel gebruikt om het moment waarop een signaal of systeem inschakelt te modelleren.

Notatie en varianten: H(t) of u(t) verwijzen naar dezelfde eenheidsstap. In sommige wiskundige contexten is H(0) = 1/2 gebruikelijk vanwege symmetrie in de theorie van distributies; in de techniek ligt de focus vaak op de rechter- continuïteit, waarbij H(0) = 1 is.

Eigenschappen: H(x) is niet differentiërbaar bij x = 0 en elders constant. Het is een monotone, niet-smooth functie die een sprong maakt van 0 naar 1 bij x=0. In de verdelingstheorie geldt de afgeleide van H als δ(x), de Dirac-delta.

Toepassingen: gebruikt in regelingen en signaalverwerking om een staprespons te modelleren. In differentiaalvergelijkingen fungeert H(t) als invoer die een systeemactiviteit veroorzaakt. In transformaties verschijnt H bij Laplace- en Fourier-analyses, waar de stap randvoorwaarden in de transformatiemodellen bepaalt.

Transformaties en benaderingen: De Laplace-transformatie van H(t) is 1/s voor Re(s) > 0. De Fourier-transformatie van H(t) bestaat in verdelingszin uit πδ(ω) + 1/(iω). Er bestaan gladde benaderingen zoals de logistieke functie 1/(1+e^{-kx}) (met k → ∞) en tanh- of arctan-achtige functies die een zachte sprong geven.