Golfvergelijking

Golfvergelijking is een partiële differentiaalvergelijking die de voortplanting van golven beschrijft in verschillende media, zoals geluid, licht of trillingen in vaste stoffen. In de klassieke, homogene vorm onderschrijft ze dat de golfvorm zich door de ruimte voortplant met een karakteristieke snelheid die afhankelijk is van het medium.

De drie-dimensionale standaardvorm is ∂²ψ/∂t² = c² ∇²ψ, waarbij ψ het golfveld aangeeft, c de voortplantingssnelheid van de golf in het medium is en ∇² de Laplace-operator is (som van de tweede ruimtelijke afgeleiden). In één dimensie vereenvoudigt de golfvergelijking tot ∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x². Een meer algemene vorm omvat ook bronnen of inhomogene media: ∂²ψ/∂t² = c² ∇²ψ + S, waarbij S een bronterm is.

Oplossingen van de golfvergelijking zijn vaak uitdrukelijk in termen van voortplantende golven. In één dimensie geldt bijvoorbeeld u(x,t) = f(x−ct) + g(x+ct), wat aanduidt dat informatie zich met snelheid c langs twee richtingen voortbeweegt. In drie dimensies vereisen oplossingen doorgaans scheiding van variabelen of numerieke methoden, afhankelijk van oorspronkelijke en randvoorwaarden.

Toepassingen komen voor in onder meer akoestiek, seismologie en elektromagnetisme. Elektromagnetische golven in vrije ruimte voldoen aan een golfvergelijking afgeleid uit Maxwell-vergelijkingen; geluidsgolven in een luchtlaag volgen een soortgelijke vorm. Historisch werd de een-dimensionale golfvergelijking voor een trillende snaar afgeleid door d’Alembert, waarna de algemene drie-dimensionale versie verder werd ontwikkeld.