Gesamtstabilität

Gesamtstabilität, im Englischen oft als global stability bezeichnet, ist ein Begriff der Systemtheorie, der die Eigenschaft eines dynamischen Systems beschreibt, dass alle zulässigen Anfangsbedingungen in einem definierten Zustandsraum zu einem gewünschten Gleichgewichtszustand konvergieren. Sie richtet sich auf das globale Verhalten des Systems, im Gegensatz zur lokalen Stabilität, die sich auf das Verhalten in der Nähe des Gleichgewichts durch lineare Approximation beschränkt.

Zu den wichtigsten Varianten gehört die globale asymptotische Stabilität (GAS) und die globale exponentielle Stabilität (GES). Um Gesamtstabilität nachzuweisen, werden häufig globale Lyapunov-Funktionen verwendet—positiv definierte Funktionen V(x), deren Ableitung entlang der Systemtrajektorien negativ ist. Weitere Methoden umfassen LaSalle’s Invarianzprinzip, Vergleichssätze und Invariante-Set-Techniken. Die Existenz einer globalen Lyapunov-Funktion ist jedoch oft schwer zu zeigen, besonders bei hochdimensionalen oder stark nichtlinearen Systemen.

Anwendungsgebiete finden sich in der Regelungstechnik, Robotik und Fahrzeugdynamik, wo globale Stabilitätrobustheit gegen Fehlanpassungen und Störungen sicherstellt. Sie spielt auch in biologischen Modellen (Populationsdynamik, Epidemiologie), in ökonomischen Modellen und in der Energietechnik eine Rolle, wo ein stabiler Gleichgewichtszustand unter allen zulässigen Bedingungen wünschenswert ist.

Beispiele verdeutlichen das Konzept: Bei der logistischen Wachstumsdynamik dx/dt = r x (1 − x/K) existieren die Gleichgewichte x = 0 und x = K; unter typischen Annahmen ist x = K global asymptotisch stabil für alle positiven Anfangswerte im Definitionsbereich. Herausforderungen ergeben sich, wenn mehrere Gleichgewichte, Limitzyklen oder Instabilität außerhalb eines definierten Bereichs auftreten.

In der Fachsprache wird der Begriff meist als globale Stabilität verwendet; gelegentlich begegnet man auch der Bezeichnung Gesamtstabilität in spezifischen Anwendungsgebieten.