InvarianteSetTechniken

InvarianteSetTechniken, auch bekannt als invariantene Mengenmethoden, sind eine Gruppe von Ansätzen in der Systemtheorie und Regelungstechnik, die darauf abzielen, Eigenschaften eines dynamischen Systems durch die Identifikation und Nutzung von Mengen zu analysieren, die unter der jeweiligen Dynamik unverändert bleiben. Eine Menge gilt als invariant, wenn der Zustand des Systems, der sich zu einem Zeitpunkt innerhalb dieser Menge befindet, zu jedem späteren Zeitpunkt weiterhin in dieser Menge verbleibt. Oft werden forward invariant oder positively invariant verwendet, um Stabilität, Sicherheit oder Eingriffsbeschränkungen sichtbar zu machen.

Die Techniken beruhen darauf, dass sich aus invarianten Mengen Rückschlüsse auf das Verhalten des Systems ziehen lassen. Typische Konstruktionstraditionen umfassen sublevel-Sets von Lyapunov-Funktionen, ellipsoidale und polyhedrale Invarianzen sowie zonotopische oder andere geometrische Repräsentationen. Die Bestimmung solcher Mengen erfolgt häufig durch Optimierungsverfahren wie lineare Programmierung, semidefinite Programmierung oder maßgebliche worst-case Analysen. In vielen Anwendungen werden Unstetigkeiten oder Unsicherheiten durch robuste oder verifizierende Varianten von Invariantensätzen berücksichtigt.

Wichtige Anwendungsfelder liegen in der Sicherheits- und Stabilitätsnachweis von regelungstechnischen Systemen, Verifikation von Hybrid- oder Echtzeitsystemen, Reichweiten- und Barrier-Set-Analysen in der Robotik sowie in der sicheren Beschränkung von Zustands- und Eingangsvektoren in der Prozess- und Automatisierungstechnik. InvarianteSetTechniken tragen außerdem zur Reachability-Analyse bei, indem sie geschlossene Zustandsmengen definieren, die nicht verlassen werden können.

Zu den Vorteilen zählen oft konservativ sichere Aussagen bei moderatem Rechenaufwand und eine direkte Interpretation der Ergebnisse. Nachteile sind teils erhebliche Rechenkomplexität, insbesondere in hohen Dimensionen, sowie Einschränkungen durch Modellgenauigkeit und das Vorhandensein geeigneter invarianten Mengen.