Systemtrajektorien

Systemtrajektorien bezeichnen im Bereich der Dynamik und Regelungstechnik die zeitliche Entwicklung des Systemzustands im Zustandsraum, die durch das Lösen der Systemgleichungen mit gegebenem Anfangszustand und gegebener Eingabe entsteht. In der informellen Sicht ist eine Systemtrajektorie der Graph der Zustandsvariable x(t) oder der Folge xk in der diskreten Zeit, während das System sich mit der Zeit fortentwickelt.

Mathematisch unterscheiden sich kontinuierliche und diskrete Systeme. Für ein kontinuierliches System gilt typischerweise ẋ(t) = f(x(t), u(t), t) mit x(t0) = x0; die zugehörige Trajektorie ist die Funktion x(t), die diese Gleichung erfüllt. Für ein diskretes System gilt xk+1 = f(xk, uk, k) mit x0 als Startwert. Die Ausgabentrajektorie ergibt sich aus y(t) = h(x(t), t) bzw. yk = h(xk, k). Unter geeigneten Regularitätsbedingungen (z. B. Lipschitz-Bestimmtheit von f) ist die Trajektorie für gegebenes Anfangs- und Eingabewert eindeutig.

Eigenschaften und Anwendungen. Trajektorien geben das Verhalten eines Systems über die Zeit wieder, z. B. Annäherung an Gleichgewichte, Periodizität oder chaotische Bahnen. In der Praxis dienen Systemtrajektorien der Trajektorienplanung und -erzeugung in Robotik, Luft- und Raumfahrt sowie Automobiltechnik. In der Regel werden Trajektorien durch Optimierung erzeugt, etwa in der Trajektorienplanung, der Modellprädiktiven Regelung (MPC) oder im Tracking-Kontrollenentwurf, wobei Zielgrößen wie Minimalzeit, Energieverbrauch oder stetige Befolgung einer Referenz verfolgt werden und dabei Dynamik- und Randbedingungen berücksichtigt werden.

Berechnung und Analyse erfolgen meist numerisch durch Integrationsverfahren (z. B. Runge-Kutta) oder diskrete Iterationen, ergänzt um Sensitivitäts- und Robustheitsbewertungen.