Iterationen

Iterationen bezeichnen die wiederholte Anwendung eines Verfahrens oder einer Funktion, um ein Ergebnis zu nähren. In der Mathematik ist eine Iteration oft durch eine Rekursionsformel definiert, etwa x_{n+1} = f(x_n), wobei ein Startwert x_0 vorgegeben wird. Ziel ist es, dass die Folge x_n gegen einen Grenzwert x* konvergiert. Der Begriff unterscheidet sich von Rekursion durch den Fokus auf den Prozess der wiederholten Anwendung statt auf die Konstruktion einzelner Werte.

In der numerischen Analyse werden Iterationen verwendet, um Gleichungen zu lösen oder Systeme zu lösen. Typische Beispiele sind Fixed-point-Iteration, bei der der Fixpunkt x* aus der Gleichung x* = f(x*) bestimmt wird, und iterative Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme wie Jacobi- und Gauss-Seidel-Iteration. Auch die Potenzmethode zur Bestimmung dominanter Eigenwerte gehört in den Bereich der Iterationen. Stoppkriterien steuern Abbruch und beinhalten Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Nähern oder eine maximale Anzahl von Iterationen sowie eine geforderte Genauigkeit (Toleranz).

Anwendungen finden sich in Wissenschaft, Technik und Informatik. Iterative Verfahren eignen sich besonders, wenn direkte Lösungen schwer oder unmöglich zu berechnen sind. In der Softwareentwicklung bezeichnet der Begriff auch iterative Entwicklung, bei der schrittweise Prototypen erstellt und verbessert werden. Zu den Vorteilen zählen Flexibilität und Skalierbarkeit; Risiken sind langsame Konvergenz, Divergenz oder das rasche Ansammeln von Rundungsfehlern, insbesondere bei schlecht gewählten Startwerten oder ungeeigneten Modellen.