Rundungsfehlern

Rundungsfehler bezeichnen die Abweichung zwischen einem mathematischen Wert und dem in einer Computersprache oder Rechenmaschine tatsächlich dargestellten Wert. Sie entstehen, weil reale Größen oft nicht exakt in endlicher Binärpräzision darstellbar sind und Rechenschritte weitere Rundungen erzwingen. In den meisten Systemen werden Gleitkommazahlen nach dem IEEE-754-Standard mit festgelegter Mantisse und Exponent verwendet, wodurch eine endliche Menge von Werten dargestellt wird und es zu Darstellungskonvertierungen kommt.

Ursachen sind die begrenzte Genauigkeit der Darstellung, Umwandlungen zwischen Dezimal- und Binärdarstellung sowie das Runden nach jeder Operation. Fehler werden häufig als absoluter Fehler |x - x̂| oder als relativer Fehler |(x - x̂)/x| angegeben. Bei einer Kette von Berechnungen summieren sich Teilfehler oft, und bei bestimmten Mustern kann die Fehlertoleranz stark ansteigen. Ein bekanntes Phänomen ist die katastrophale Auslöschung, bei der das Subtrahieren zweier nahezu gleicher Zahlen zu einem relativ großen Fehler führt.

Ein Beispiel ist 0,1 + 0,2, das in üblichen Gleitkommadarstellungen nicht exakt 0,3 ergibt, sondern eine geringfügig andere Zahl. Solche Abweichungen treten auch in größeren Berechnungen auf, insbesondere wenn Werte sehr unterschiedlich skaliert sind.

Gegenmaßnahmen umfassen höhere Präzision (z. B. Doppel- statt Einfachpräzision), stabilere Algorithmen, Skalierung von Größenordnungen und spezielle Summierungsmethoden wie die Kahan-Summe. Außerdem kann der Fehler durch eine geeignete Rundungsregel vermindert werden (typisch Rundung zum nächstgelegenen Wert) und durch Fehlerabschätzung während der Entwicklung.

Rundungsfehler beeinflussen die Genauigkeit numerischer Ergebnisse und die Zuverlässigkeit von Simulationen, Messreihen und Finanzmodellen. Verständnis von Kondition und Stabilität hilft bei der Beurteilung, ob ein Algorithmus für gegebene Eingaben ausreichend robust ist.