Fibonaccireeks

Fibonaccireeks, ook wel de Fibonacci-reeks genoemd, is een reeks getallen waarin elk getal na de eerste twee wordt verkregen als de som van de voorgaande twee. Meestal begint de reeks met F0 = 0 en F1 = 1, waarna F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, enzovoort. In sommige notaties start men met F1 = 1 en F2 = 1.

De reeks is vernoemd naar de Italiaanse wiskundige Leonardo van Pisa, bekend als Fibonacci, die de reeks in Liber Abaci (rond 1202) introduceerde als model voor een rabbit-populatie.

Belangrijke eigenschappen: de recursieve definitie F(n) = F(n-1) + F(n-2) voor n ≥ 2. De groeivoet is asymptotisch gelijk aan de macht van de gulden snede phi ≈ 1,6180339, wat betekent dat F(n) ongeveer proportional is aan phi^n. Een gesloten vorm bestaat in Binet's formule. De getallen hebben vele verbanden, zoals met Lucas-getallen, rijtjes in Pascal’s driehoek (som van diagonalen) en de Fibonacci-woord.

Genererende functies en modulaire eigenschappen zijn bestudeerd: de generating function is F(x) = x/(1 - x - x^2), en de waarden modulo m kennen periodes die bekend staan als Pisano-periodes.

Toepassingen bevinden zich op meerdere terreinen: wiskunde en computerwetenschap (algoritmes, data-structuren zoals Fibonacci-heaps), natuurwetenschappen en biologie (verschijnselen als spiraalpatronen en groeigebeurtenissen). De reeks biedt een eenvoudig maar rijk kader voor onderzoek naar recursie, getallen en patronen.

Samengevat is de Fibonaccireeks een eenvoudige recursieve sequentie met brede wiskundige en praktische implicaties, bestudeerd vanuit getaltheorie, combinatoriek en natuur.

---