Feldintegration

Feldintegration ist ein zentrales Konzept der Analysis, das die Integration von Funktionen definiert, die Felder über einem räumlichen Gebiet zuordnen. Dabei kann es sich um skalare Felder wie die Temperatur T(x,y,z) oder vektorielle Felder wie den Kraftvektor F(x,y,z) handeln. Ziel der Feldintegration ist, Größen zu berechnen, die über Geometrien wie Kurven oder Flächen verteilt sind.

Lineare (Pfad-)Integrale: Über eine Kurve C, parametrisiert durch r(t), t∈[a,b]. Für einen skalaren Feld f gilt das Linienintegral ∫_C f ds, wobei ds der Bogenmaßanteil ist. Für ein Vektorfeld F gilt ∫_C F · dr, mit dr = r'(t) dt; dies entspricht der Arbeit entlang der Kurve.

Flächenintegrale: Über eine Fläche S, parametrisiert durch X(u,v). Ein Flächenintegral eines skalar Feldes φ: ∫∫_S φ dS, wobei dS die Flächeneinheit ist. Für ein Vektorfeld F ergibt sich der Oberflächenfluss ∫∫_S F · n dS, wobei n die Orientierung angibt.

Parameterisierung und Orientierung: Die Berechnungen hängen von der gewählten Parametrisierung und der festgelegten Orientierung der Kurve bzw. der Fläche ab.

Zentrale Sätze: Green's, Stokes' und der Divergenzsatz (Gauss' Satz) verknüpfen Integrale über Kurven, Flächen und Volumen miteinander.

Anwendungen: Feldintegration findet breite Anwendung in Physik, Ingenieurwesen, Fluiddynamik, Elektromagnetismus und Geometrie. Numerische Berechnung erfolgt oft über Riemann-Summen, Quadraturverfahren oder Monte-Carlo-Methoden. Begrenzungen betreffen Regularität von Feldern und die richtige Wahl von Parametrisierung und Orientierung.