Quadraturverfahren

Quadraturverfahren sind numerische Methoden zur näherungsweisen Bestimmung bestimmter Integrale. Sie ersetzen das Integral durch eine gewichtete Summe der Funktionswerte an ausgewählten Stellen: ∫_a^b f(x) dx ≈ ∑_{i=1}^n w_i f(x_i). Die Wahl der Stützstellen x_i und der Gewichte w_i bestimmt Genauigkeit und Stabilität des Verfahrens.

Eine zentrale Idee ist die Herstellung einer Näherung, die für eine Klasse von Funktionen – typischerweise Polynome – exakt ist. Bei vielen Verfahren werden die Gewichte und Stützstellen so gewählt, dass ∫_a^b f(x) dx genau ist, wenn f ein Polynom bis zu einem bestimmten Grad ist. Die Gauss-Quadratur erreicht mit n Stützstellen Exaktheit bis Grad 2n−1 und ist damit besonders effizient.

Häufige Beispiele sind das Trapezregel und die Simpsonregel, die zu den Newton-Cotes-Verfahren gehören und sich durch gleichmäßig verteilte Knoten auszeichnen. Weiter verbreitete Formeln sind die Gauss-Quadratur (z. B. Gauss-Legendre) für den Standardbereich sowie Variationen mit anderen Gewichtsfunktionen; Clenshaw–Curtis-Quadratur nutzt Knoten, die aus Kosinus-Abständen gewonnen werden.

Für mehrdimensionale Integrale kommen Produktregeln, mehrdimensionale Gauss-Quadratur oder Sparse-Grid-Verfahren zum Einsatz. Adaptive Quadratur verfeinert das Netz dort, wo die Funktion stark variiert, und schätzt den Fehler. Die Wahl des Verfahrens hängt von der Glattheit der Funktion, der Dimension und der gewünschten Genauigkeit ab.