Fehlerverteilungen

Fehlerverteilungen beschreiben die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Abweichungen zwischen gemessenen Größen und deren wahren Werten. Sie dienen dazu, Unsicherheit quantifizierbar zu machen, Modelle zu prüfen und Vorhersagen zu evaluieren. In der Praxis unterscheidet man zwischen zufälligen (random) und systematischen Fehlern; erstere lassen sich oft durch Wahrscheinlichkeitsverteilungen modellieren, letztere werden separat adressiert.

Zu den häufig verwendeten Verteilungen gehören die Normalverteilung (Gaussian). Sie wird durch den zentralen Grenzwertsatz oft als Approximation für viele Messfehler herangezogen, ist symmetrisch, kennt eine Mittelwertposition und eine Varianz, und führt zu klassischen Methoden wie der kleinsten Quadrate-Schätzung, wenn die Fehler annähernd normal sind. Weitere Verteilungen sind die Laplace-Verteilung (schärfere Spitze, schwerere Enden), die t-Verteilung (schwere Enden, variiert mit den Freiheitsgraden), die Cauchy-Verteilung (schwer endend, Varianz undefiniert) sowie die Uniformverteilung für bounded noise. Für multiplikative Fehler können Lognormalverteilungen auftreten; Zählfehler in der Praxis werden oft durch Poisson- oder verwandte Modelle beschrieben.

Wichtige Konzepte umfassen Varianz, Homoskedastizität und Unvoreingenommenheit der Schätzungen. Die Wahl der Verteilung beeinflusst Schätzmethoden (Maximum-Likelihood-Schätzung, Bayes-Modelle) und die Robustheit gegenüber Ausreißern. Bei schweren Enden der Verteilung kommen robuste Methoden in Betracht, während bei Gaussianen Fehlerannahmen klassische lineare Modelle und Standardunsicherheiten eingesetzt werden.

Diagnostik ist zentral: QQ-Plots, Normalitätstests, Residuenanalyse und informationsbasierte Kriterien (AIC/BIC) unterstützen die Bewertung der Angemessenheit eines Fehlermodells. Zur Unsicherheitsquantifizierung werden oft Monte-Carlo-Simulationen oder der Delta-Method-Ansatz genutzt, um die Auswirkung der Fehlerverteilung auf Vorhersagen und Parameter abzuschätzen.

---