tVerteilung

Die t-Verteilung, oft als t-Verteilung bezeichnet, ist eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die in der Statistik vor allem bei kleinen Stichproben verwendet wird, wenn die Varianz der Grundgesamtheit unbekannt ist. Sie ist nach William Sealy Gosset unter dem Pseudonym Student benannt. Die Verteilung wird durch die Anzahl der Freiheitsgrade ν (meist ν = n − 1 bei einer Stichprobe der Größe n) parametrisiert.

Eigenschaften: Die t-Verteilung ist symmetrisch um null und zeichnet sich durch schwerere Tails als die Normalverteilung aus. Das bedeutet, extreme Werte treten wahrscheinlicher auf als unter einer Normalverteilung. Der Erwartungswert existiert nur für ν > 1 und ist dann 0; die Varianz existiert erst für ν > 2 und beträgt ν/(ν − 2). Für ν = 1 entspricht die t-Verteilung der standard Cauchy-Verteilung (mean und Varianz sind nicht definiert). Der PDF lautet f(t) = Γ((ν+1)/2) / (√(νπ) Γ(ν/2)) · (1 + t^2/ν)^−((ν+1)/2). Mit zunehmender ν nähert sich die t-Verteilung der Standardnormalverteilung N(0,1) an.

Anwendungen: Die t-Verteilung wird verwendet, wenn der Mittelwert einer Population mit unbekannter Varianz geschätzt wird, insbesondere in t-Tests (Ein-Stichprobe, Zwei-Stichproben, gepaarte Tests) und bei Konfidenzintervallen für den Populationsmittelwert. Konfidenzintervalle für μ lauten typischerweise: X̄ ± t_{α/2, ν} · S/√n, wobei t_{α/2, ν} der kritische Wert der t-Verteilung ist. Die Verteilung hängt eng mit der F-Verteilung zusammen: T^2 hat die Verteilung F(1, ν).

Verwendung: In der Praxis wird die t-Verteilung für kleine Stichproben bevorzugt, wenn die Populationsvarianz unbekannt ist; bei großen Stichproben nähert sie sich der Normalverteilung.