Eigenwaardeanalyse

Eigenwaardeanalyse bestudeert de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren van een vierkante matrix of lineaire operator en wordt toegepast om het gedrag van systemen te begrijpen. In veel toepassingen geven de eigenwaarden informatie over groei of afname, frequenties en stabiliteit van het systeem. Voor lineaire tijd-invariante systemen kan men uit de eigenwaardeanalyse afleiden welke natuurlijke trillingen optreden en hoe een systeem reageert op prikkels.

Het basisprobleem is Av = λv, waarbij A een vierkante matrix is, λ een scalair en v een niet-nul vector. De eigenwaarden λ worden gevonden als determinant det(A − λI) = 0. Afhankelijk van de matrix kunnen λ reëel of complex zijn; bij symmetrische matrices zijn λ en de bijbehorende vectoren orthogonaal en reëel. Voor continue tijd-dynamica geldt: x' = Ax heeft asymptotische stabiliteit als alle Re(λ) < 0; bij een discrete tijd-dynamiek x_{t+1} = Ax_t geldt stabiliteit als alle |λ| < 1.

Computatie van eigenwaarden gebeurt meestal numeriek voor grotere systemen. Voor kleinere matrices kan men ze analytisch bepalen, maar doorgaans gebruikt men methoden zoals het QR-algoritme, power iteration, inverse iteration en Jacobi-methoden. Voor grote, sparse problemen zijn Krylov-subruimte methoden zoals Arnoldi en Lanczos gangbaar. Een volledige diagonaalisatie A = V Λ V^{-1} geeft Λ als diagonaal van eigenwaarden en V als matrix met bijbehorende eigenvectoren.

Toepassingen strekken zich uit over structurele dynamica en modal analysis (frequenties en trillingsmodi), controle en regeltheorie, Markov-ketens, netwerkanalyse en grafentheorie, evenals parametervraagstukken in natuur- en techniek. Beperkingen omvatten niet-diagonalisierbare matrices, degenerate eigenwaarden en gevoeligheid voor meetfouten of perturbaties van A.