Drehinvarianz

Drehinvarianz bezeichnet die Eigenschaft eines Objekts, Systems oder einer Gleichung, unter Rotationen des Koordinatensystems unverändert zu bleiben. Sie bedeutet, dass sich Beobachtung oder Ergebnis nicht ändern, wenn der Orientierungsrahmen gedreht wird.

Mathematisch bedeutet Drehinvarianz, dass eine Funktion f: R^n -> R für alle Rotationen R aus der Gruppe SO(n) gilt: f(Rx) = f(x). Entsprechend hängt eine isotrope Situation nur vom Abstand zum Ursprung ab, nicht von der Richtung.

In der Physik ist Drehinvarianz eine grundlegende Symmetrie. Nach dem Noetherschen Satz führt sie zur Erhaltung des Drehimpuls und tritt in isotropen Feldern und Kräften auf. Sie beschreibt, dass physikalische Gesetze unabhängig von der Orientierung eines Systems bleiben.

Beispiele sind eine Kreisfläche oder eine Kugel, die unter Rotationen unverändert bleiben, sowie mehrdimensionale Normalverteilungen mit Kovarianz proportional zur Identitätsmatrix, die drehinvariant sind.

Anwendungen finden sich in der Bildverarbeitung, wo bestrebte drehinvariante Merkmale wie SIFT genutzt werden, um Bildinhalte unabhängig von Drehung zu erkennen. Im maschinellen Lernen sowie in der Physik unterstützen invarianz- bzw. äquivariante Architekturen Gruppeninvarianz, etwa durch spezielle Netzwerkstrukturen oder Datenaugmentation, um Drehinvarianz zu berücksichtigen.

Hinweise: Drehinvarianz bezieht sich meist auf bestimmte Größen oder Beobachtungen. Sie kann exakt für die volle Rotationsgruppe oder nur für Untergruppen gelten; oft wird sie durch diskrete Rotationen oder durch Approximationen realisiert.