Koordinatensystems

Koordinatensysteme dienen dazu, Punkte in einem Raum durch Zahlenwerte zu kennzeichnen. Sie stellen eine Abbildung bereit, die Punkte auf Koordinaten abbildet, basierend auf einer Menge von Achsen oder einer Basist für den Vektorraum.

Im euklidischen Raum der Dimension n definiert man Koordinaten relativ zu einer Basis. Am gebräuchlichsten ist das kartesische Koordinatensystem, in dem die Achsen orthogonal zueinander stehen und der Ursprung O als Nullpunkt dient. In zwei Dimensionen lauten die Koordinaten eines Punkts (x, y); in drei Dimensionen (x, y, z). Abstand, Lage und Richtung lassen sich mit der euklidischen Metrik berechnen.

Nichtkartesische Koordinatensysteme umfassen Polarkoordinaten in der Ebene (r, φ), zylindrische Koordinaten (r, φ, z) und kugelförmige Koordinaten (ρ, θ, φ). Die Zuordnung von Koordinaten zu Punkten erfolgt über Transformationsgleichungen; verschiedene Konventionen bei der Definition von Winkeln sind üblich.

Koordinatentransformationen beschreiben, wie sich Koordinaten ändern, wenn man das Koordinatensystem verändert, etwa durch Translation oder Rotation. Im Vektorraum entspricht der Wechsel des Koordinatensystems dem Wechsel der Basis; die Koordinaten eines Punkts sind dann die Koeffizienten seiner Darstellung in der gewählten Basis. Transformationsregeln werden oft durch Matrizen beschrieben.

Anwendungen finden Koordinatensysteme in der Geometrie, Physik, Computergraphik, Robotik und im geografischen Informationswesen. Sie ermöglichen die präzise Modellierung von Punkten, Linien und Flächen sowie die Berechnung von Abständen, Winkeln und Volumen.