CahnHilliardvergelijking

CahnHilliardvergelijking, ook wel de Cahn–Hilliard-vergelijking genoemd, beschrijft de tijdsevolutie van de samenstellingsveld φ(x,t) in een binair legering- of polymeermengsel dat fase-scheiding ondergaat. Het model behoudt de totale hoeveelheid van elke component, wat betekent dat de landbouw van massa strikt geconserveerd blijft tijdens de evolutie. Het wordt veel gebruikt om microstructurele veranderingen in materialen te begrijpen.

De vergelijking is een vierde-orde niet-lineaire partiële differentiaalvergelijking. Een veelgebruikte vorm is ∂φ/∂t = ∇·(M ∇ μ), waarbij M de mobiliteit is en μ de chemische potentiaal. De chemische potentiaal wordt gegeven door μ = f0′(φ) − κ ∆φ, met F[φ] = ∫ [f0(φ) + (κ/2)|∇φ|^2] dV als vrije-energiefunctioneel. f0 is een lokale bulkenergie met een dubbele-well-gewichting die twee faserichtingen bevordert; κ bepaalt de interfaciale energie. Randvoorwaarden zijn vaak geen-flux: n·∇μ = 0.

Fysisch vertaalt dit model zich naar spinodale ontmenging en latere coarsening. Kleine onzekerheden in een uniform toestand groeien, wat leidt tot de vorming van gescheiden fasen met een karakteristieke lengte. Na verloop van tijd groeien de domeinen en verhogen ze hun doorsnede door samenvoeging van interfaces, terwijl de totale conserveerde hoeveelheid φ behouden blijft.

Toepassingen van de CahnHilliardvergelijking bevinden zich voornamelijk in de materialenwetenschap, bijvoorbeeld bij legeringen en polymeermengsels, waar men microstructuur evolutie en interfaciale eigenschappen bestudeert. Numeriek wordt vaak gebruikgemaakt van impliciete tijdstappen en discretisaties zoals verschil-, eindig element- of spectrale methoden, aangezien de vergelijking stijf kan zijn. De theorie werd geïntroduceerd door John W. Cahn en John Hilliard in 1958.