Übergangsfunktion

Eine Übergangsfunktion beschreibt in der Differenzialgeometrie und Topologie, wie zwei Koordinatenkarten einer Mannigfaltigkeit auf einem gemeinsamen Gebiet zusammenpassen. Sei M eine Mannigfaltigkeit mit einem Atlas { (U_α, φ_α) }. Auf dem Überschneidungsgebiet U_α ∩ U_β ist die Übergangsfunktion φ_β ∘ φ_α^{-1} definiert, eine Abbildung von φ_α(U_α ∩ U_β) ⊂ R^n nach φ_β(U_α ∩ U_β) ⊂ R^n. Sie ist ein Homöomorphismus bzw. Diffeomorphismus, je nachdem, ob die Mannigfaltigkeit topologisch, differenzierbar oder glatt ist. In der glatten Kategorie sollen diese Übergangsfunktionen glatt sein; in komplexen Manigfaltigkeiten sollten sie holomorph sein.

In der Theorie der Faserbündel dienen Übergangsfunktionen g_αβ: U_α ∩ U_β → G, wobei G die Strukturgruppe ist. Auf Überlappungen beschreibt g_αβ, wie die lokalen Trivialisationen φ_α, φ_β zusammengefügt werden: φ_β ∘ φ_α^{-1}(x, v) = (x, g_αβ(x)·v). Sie erfüllen das Cocycle-Bedingung g_αβ(x) g_βγ(x) = g_αγ(x) auf U_α ∩ U_β ∩ U_γ. Diese Funktionen sind zentrale Glueing-Daten für die Definition von Mannigfaltigkeiten, Kartensystemen und Bündeln.

Bedeutung und Anwendungen: Übergangsfunktionen sichern die Konsistenz der lokalen Strukturen und ermöglichen die Konstruktion sowie Klassifikation geometrischer Objekte durch global koordinierte Gliederung. In vielen Theorien bilden sie die Grundlage für Struktur, Symmetrie und Glättung von Geometrien.