Diffeomorphismus

Ein Diffeomorphismus ist eine differenzierbare Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten, die bijektiv ist und deren Umkehrung ebenfalls glatt ist. Formal ist f: M → N ein Diffeomorphismus, wenn f eine glatte Abbildung ist, bijektiv wirkt und f^{-1} glatt ist. In der Sprache der Kategorien dient ein Diffeomorphismus als Isomorphismus der Kategorie der glatten Mannigfaltigkeiten. Man spricht auch von glatten Automorphismen, wenn M = N.

Für Karten in lokalen Koordinaten bedeutet eine C^k-Abbildung mit partiellen Ableitungen unzerstörbar invertierbarem Jacobianmatrix Df, dass f eine lokale Diffeomorphismus ist (Satz von Inverser Funktion). Um global ein Diffeomorphismus zu sein, genügt Bijektivität zusammen mit der Glattheit von f^{-1}. Nicht jede lokale Diffeomorphismus ist global.

Eigenschaften: Diffeomorphismen bewahren die differenzielle Struktur, sind Abbildungen, die offen sind und Homeomorphismen. Sie bilden unter Komposition eine Gruppe, die Diff(M). Die Orientierung eines Orientierten Mannigfaltigkeitsraums wird durch Diffeomorphismen entweder erhalten oder umgekehrt, je nachdem der Vorzeichendeterminante der Jacobimatrix Df > 0 oder < 0 ist.

Beispiele: Translationen, Rotationen, Spiegelungen und allgemein jede Bijektion mit invertierbarer glatter Jacobimatrix auf R^n; Diffeomorphismen von der Sphäre, dem Torus oder anderen glatten Mannigfaltigkeiten bilden zentrale Gegenstände der Geometrie und Topologie.

Bedeutung: Diffeomorphismen dienen als morphische Strukturträger in der Diff­erentialgeometrie, ermöglichen die Klassifikation glatter Mannigfaltigkeiten und spielen eine zentrale Rolle in der differenziellen Topologie, der dynamischen Systeme und der Geometrischen Analysis.