invertierbarem

Invertierbar bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft eines Objekts, zu dem es ein inverses Element bezogen auf eine festgelegte Operation gibt. Das inverse Objekt kehrt den Effekt der ursprünglichen Operation um. Üblicherweise unterscheidet man Invertierbarkeit in verschiedenen Bereichen, zum Beispiel in der linearen Algebra, in der Analysis oder in der Ringtheorie.

In der linearen Algebra gilt eine n×n-Matrix A als invertierbar, wenn es eine Matrix B gibt mit AB = BA = I, wobei I die Einheitsmatrix ist. Eine äquivalente Bedingung ist, dass der Determinant von A ungleich Null ist oder dass der Rang von A gleich n ist. Die Inverse A^{-1} ist dann eindeutig und erfüllt AB = BA = I. In der Praxis lässt sich die Inverse durch Gauss-Jordan-Elimination berechnen oder durch Formeln, die von der Determinante abhängen, falls der zugrunde liegende Körper gegeben ist.

Bei Funktionen ist eine Abbildung f von einer Menge X in Y invertierbar, wenn sie bijektiv ist. Dann existiert eine Umkehrfunktion f^{-1}: Y → X, die jede Abbildung umkehrt. Die Inverse ist eindeutig.

In der Ringtheorie bezeichnet man ein Element als Unit, wenn es ein multiplikatives Inverses besitzt. Solche Elemente bilden die Gruppe der Einheiten des Rings.

Weitere Perspektiven finden sich in der Kategorientheorie, wo invertierbare Morphismen Isomorphismen darstellen, und in der Analysis, wo die Invertierbarkeit von Funktionen oft lokale Bijektionen bedeutet.

Beispiel: Die Matrix [[1,0],[0,2]] ist invertierbar, da det(A) = 2 ≠ 0. Die Funktion f(x) = x^3 ist invertierbar auf dem ganzen R, mit f^{-1}(y) = ∛y.