Homeomorphismen

Homöomorphismus (Plural: Homöomorphismen) ist in der Topologie eine Abbildung zwischen topologischen Räumen, die die topologische Struktur vollständig erhält. Eine Abbildung f: X → Y ist genau dann ein Homöomorphismus, wenn sie bijektiv, stetig ist und deren Umkehrabbildung f^{-1}: Y → X ebenfalls stetig ist. Man spricht auch von einer bicontinuierlichen Bijektion. Zwei Räume heißen genau dann homöomorph, wenn es einen Homöomorphismus zwischen ihnen gibt.

Eigenschaften: Da sowohl f als auch f^{-1} stetig sind, bildet f offene Mengen auf Y ab und umgekehrt. Folglich bewahren Homöomorphismen grundlegende topologische Eigenschaften wie Zusammenhang, Kompaktheit, Anzahl der Komponenten und die Hausdorff-Eigenschaft. Räume, die durch einen Homöomorphismus verbunden sind, haben dieselbe topologische Struktur, auch wenn geometrisch Unterschiede bestehen können.

Beispiele: Der Funktions f: R → R mit f(x) = x^3 ist ein Homöomorphismus; seine Umkehrung ist die Kubikwurzel. Rotationen der Einheitsscheibe S^1, f(z) = e^{iθ} z, sind Homöomorphismen. Eine stetige bijektive Abbildung eines Intervalls, deren Umkehrung ebenfalls stetig ist, ist ebenfalls ein Homöomorphismus.

Hinweise: Im Allgemeinen genügt Stetigkeit einer Bijektion nicht. Falls X kompakt und Y hausdorff ist, ist jede stetige Bijektion f: X → Y automatisch ein Homöomorphismus.

Anwendungen: Homöomorphismen dienen der Klassifikation topologischer Räume. Zwei Räume gelten als gleichartig, wenn sie homöomorph sind; sie bilden damit die Grundlage der Topologie der Räume und der Manifolds.